5. Test d'ajustements
Une application importante du test du khi deux est l'ajustement d'une distribution observée avec une loi de distribution théorique. On peut en particulier utiliser ce test pour étudier la normalité d'une distribution.
Reprenons l'exemple du poids de naissance des nouveau-nés où l'on va chercher à savoir si la distribution observée peut être ajustée par une loi Normale (nous avons déjà testé cette normalité en traçant la droite de Henri (chapitre II.1.3)) :
L'hypothèse H0 est : la distribution observée peut être ajustée par une loi Normale
L'hypothèse H1 est : la distribution observée ne peut être ajustée par une loi Normale.
On va tester l'hypothèse H0 en calculant les effectifs théoriques à l'aide de la loi Normale. Les paramètres statistiques de la population d'où provient la distribution ont été estimés (m=3309 g ; s=494 g).
Nous cherchons d'abord les probabilités p(x<2200) ; p(2200<x<2400) etc... en transformant les valeurs de la variable poids en variable normale centrée réduite.
P(x<2200)=p et de même pour les autres classes. Nous obtenons la colonne p(x1<x<x2). Il suffit ensuite de multiplier ces probabilités par l'effectif total (200) de l'échantillon pour obtenir les effectifs théoriques (Ci).
Nous calculons ensuite la valeur du khi deux en prenant soin de regrouper les classes dont les effectifs théoriques sont inférieurs à 5 (on fait la somme des effectifs pour les classes encadrées dans le tableau).
La valeur de X2=8,53 est ensuite comparée à celle de la table avec un risque 5 % et 8 degrés de liberté (X20,05= 15,5).
Le nombre de degrés de liberté est donné par ddl = k-1-r où k est le nombre de classes après regroupement (11 classes ici) et r le nombre de paramètres estimés (2 ici avec la moyenne et l'écart type).
On peut conclure ici que rien ne permet de rejeter l'hypothèse H0. Nous considérons donc que l'ajustement de la distribution par une loi Normale est acceptable.
Un tel ajustement nécessite d'avoir un échantillon de taille relativement importante. Par la suite on pourra cependant réaliser des tests sur des petits échantillons en utilisant la loi de Student car la normalité de la distribution est très probable.
Le test du khi deux sera également utile pour ajuster une distribution observée par une loi théorique quelconque : loi binômiale, Poisson, hypergéométrique, etc ...
